Introducción

 

                                                                               INTRODUCCION:

En este documento hablaremos acerca de las funciones cúbicas y sus derivadas de ellas, para empezar una función cubica es aquella que son clasificadas por tener grado tres, es decir, su exponente con mayor valor es tres, donde su expresión general es:

                                         f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

 Al igual que hablaremos acerca de sus características, propiedades, ejemplos y ejercicios, en esta práctica podrás encontrar mucha ayuda para aclarar todas tus dudas acerca de este tema que viene derivado de cálculo diferencial.

Características

 La función cúbica se caracteriza por:

• Su dominio y codominio son todos los números reales.
• La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.
• La integral de una función cúbica es una función de grado cuatro.
• Los coeficientes son valores diferentes a cero.
• Es una función continua.
• La función corta el eje Y en un punto.
• La función puede cortar el eje X en uno, dos o tres puntos.

Concavidad

                                                   

       CONCAVIDAD, DOMINIO Y RANGO

a) Si a > 0, la sección de la izquierda el intervalo (] y la sección de la derecha es convexa, intervalo [). La expresión x(Pi) significa la abcisa del unto de inflexión Pi.

La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mímino. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es f(x) = ax3 + d pero sí tiene punto de inflexión. b) Si a < 0, la sección de la izquierda es convexa, intervalo (] y la sección de la derecha es cóncava, intervalo [). Al igual que en el caso anterior, la cóncava puede tener un máximo y la convexa un mínimo.

Dominio:

todos los reales, D_f = R.

 Rango:

todos los reales, D_f = R.

Crecimiento y decrecimiento

             

               CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

a) Si a > 0. Se pueden presentar dos casos:

- Si no tiene extremos, es creciente en todo su dominio. - Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (a la izquierda hasta el punto máximo), es creciente; la segunda (parte central, entre máximo y mínimo), es decreciente; y la tercera (a la derecha desde el punto mínimo), es creciente. b) Si a < 0. También se pueden presentar dos casos:

- Si no tiene extremos, es decreciente en todo su dominio. - Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (hasta el punto mínimo), es decreciente; la segunda (entre mínimo y máximo), es creciente, y la tercera (desde el punto máximo), es decreciente.

Gràfica de una funciòn cùbica

 

La gráfica de una función cúbica presenta como comportamiento general el siguiente:

La función puede cortar al eje X en tres, dos o en un punto, todo dependerá de las raíces de la función, por ejemplo;

Para calcular los puntos de corte te sugerimos aplicar la regla de Ruffini.

Para graficar una función cubica construimos una tabla con valores en X, te recomendamos conseguir el punto de corte con Y, si lo desea considera cuatro valores  dos a la derecha y los otros dos a la izquierda del punto de corte, para finalmente con la tabla completa proceder a graficar. Por ejemplo:

punto de corte en Y;

 

seleccionamos cuatro valores para x (-1,-2,1,2) y sustituimos en la función;

procedemos a graficar, realizando la proyección de los gráfica según el comportamiento de la misma;

 

 

 

 

Ejemplo

 

                                                  EJEMPLO:

Gráfica f(x) = x^ (3)